lunes, 25 de octubre de 2010

Teorema de Pitágoras

Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C., residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre: 
Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que
a2 + b2 = c2
Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.  Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque 
a2 + b2 = 32 + 42
= 9 + 16 = 25 = c2
Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3,4,5) y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina. 
Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección precedente, a saber 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo 
      152 = (10 + 5)2    = 102 + (2)(10)(5) + 52    = 100 + 100 + 25    = 225
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
Por ejemplo: 
      52 = (10 - 5)2    = 102 - (2)(10)(5) + 52    = 100 - 100 + 25    = 25
También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es (longitud) por (altura), de tal forma que el área del presentado arriba es ab. Una diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área de ese triángulo es, por consiguiente, (1/2) ab
Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro triángulos (a,b,c). la longitud de cada lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2
No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro triángulos (a,b,c) más un cuadrado de lado c en el centro (en rigor, también debemos de probar que es un cuadrado, pero nos saltaremos esto). El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el área del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas sus partes
(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2
Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4)(1/2) = 2 
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Reste 2ab de ambos lados y obtendrá 
a2 + b2 = c2

  Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de área c2. Como muestra el dibujo de la derecha, esa área puede dividirse en cuatro triángulos como los anteriores, más un pequeño cuadrado de lado (a-b). Obtenemos
 
 


c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b) 2
= 2ab + (a2 - 2ab + b2)
= a2 + b2 Q.E.D.
Q.E.D. simboliza "quod erat demonstrandum," en latín "lo que queda demostrado,"  que en los libros de geometría, tradicionalmente, marcaban el final de una demostración. La importancia del trabajo de Pitágoras y de los siguientes maestros de geometría griegos, especialmente Euclides, no fue solo lo que probaron, sino el método que desarrollaron: comenzar desde algunas afirmaciones básicas ("axiomas") y deducir mediante la lógica sus consecuencias más complicadas ("teoremas"). Los matemáticos aún siguen ese modelo. 
 

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